§ 14. Функции с ограниченным спектром

 

В технике связи при передаче различных сигналов мы имеем обычно дело с функциями времени, спектр которых ограничен, т.е. в спектре которых не содержатся частоты выше некоторой граничной. Такие функции обладают замечательным свойством, установленным впервые в 1933 г. В. А. Котельниковым [8] и выраженным им в теореме, играющей фундаментальную роль в теории связи и, в частности, в импульсной связи.

Свойство это состоит в том, что тогда как в общем случае функция времени вполне определяется бессчетным множеством своих значений (т.е. бесконечным числом значений на протяжении конечного интервала), функция с ограниченным спектром вполне определяется счетным множеством своих значений (т.е. конечным числом значений на протяжении конечного интервала). С геометрической точки зрения это означает, что если задать на протяжении конечного интервала вполне определенное количество точек, изображающих мгновенные значения функции с ограниченным спектром, то непрерывная кривая, представляющая график функции, может быть проведена через эти точки единственным образом. Это положение объясняется тем, что отсутствие высоких частот в составе функции накладывает серьезное ограничение на способы, которыми могут быть соединены каждые две соседние точки, и смысл теоремы Котельникова состоит именно в утверждении, что при достаточно частом расположении точек эти ограничения приводят к тому, что кривая определяется этими точками полностью.

Эту мысль можно пояснить еще следующим примером. Положим, что относительно непрерывной линии известно что она ломаная (в этом состоит в данном примере ограничение свойств линии), и положим, что нам даны точки изломов этой линии. Тогда, зная по свойству ломаной, что точки изломов соединены отрезками прямых, мы легко восстанавливаем всю ломаную линию.

Перейдем к доказательству теоремы, которая в формулировке ее автора гласит: «Любую функцию ∆ƒ, состоящую из частот от 0 до ƒ_с, можно передавать с любой точностью при помощи чисел, следующих друг за другом через 1/2ƒ_с  секунд».

Доказательство состоит в разложении функции в особого вида ряд.

В общем случае

                                                                         (14.1)

где

                                                                                                             (14.2)

Но в рассматриваемом частном случае функции с ограниченным спектром мы имеем вместо (14.1)

                                                                                                            (14.3)

так как S(ω) = 0 при ω > ω_c. Функция же S(ω) на конечном промежутке ( ─ ω_c, ω_c) может быть разложена в ряд Фурье по частотам следующим образом:

                                                                                                                  (14.4)

где 2ω_c играет роль периода по частоте. Коэффициенты D_k ряда (14.4) определяются по обычной формуле

                                                                                                              (14.5)

Подставляя (14.4), в (14.3), получим

или, изменяя порядок действий,

откуда после интегрирования находим

                                                                                      (14.6)

 

Теперь сравним (14.5) и (14.3). Как видим,

Подставляя в (14.6) найденное значение D_k и меняя знаки под знаком суммы (так как суммирование производится по всем k от ─ ∞ до + ∞), получаем окончательно

                                                                                                     (14.7)

Итак, функция с ограниченным спектром может быть представлена рядом (14.7), коэффициенты которого представляют собой отсчеты значений функции, взятые через

Этим теорема доказана.

В качестве чисел, определяющих функцию с ограниченным спектром, в предшествующем доказательстве фигурировали отсчеты мгновенных значений функции. Но это могут быть и другие независимые числа, как покажет нижеследующее рассуждение.

Всякая (с несущественными ограничениями) функция может быть представлена на произвольном конечном промежутке  тригонометрическим рядом

                                                                                                                           (14.8)

Но если спектр функции ƒ(t) ограничен, т.е. если в ее составе нет частот выше граничной частоты ω_c, то и разложение (14.8) ограничивается конечным числом слагаемых, и мы имеем в этом случае

                                                                              _,                                            (14.9)

где номер наивысшей гармоники n определяется из соотношения

или

n = f_cτ.

Таким образом, функция полностью определяется на интервале τ посредством n комплексных амплитуд C_k и постоянной составляющей С₀. Но так как каждая из амплитуд С_k в свою очередь определяется двумя числами (или, что то же, каждое слагаемое многочлена (14.9) определяется амплитудой и фазой), то всего для полного определения функции на интервале τ нужно

                                     M = 2n + 1 = 2f_c + 1                         (14.10)

чисел. Теперь нужно устремить τ к бесконечности, чтобы определить функцию ƒ(t) на протяжении всей оси времен. При этом, конечно, и n будет стремиться к бесконечности, так что вместо (14.10) будем иметь асимптотическое равенство

m ~ 2n = 2ƒ_cτ

Если передавать числа равномерно, то в единицу времени нужно передать

m/τ = 2ƒ_c

чисел, а временной интервал между двумя числами будет

Таким образом показано, что числами, определяющими функцию с ограниченным спектром, могут быть не только отсчеты мгновенных значений функции, но и коэффициенты ее разложения в ряд Фурье.

Мы имеем на практике дело с процессами, имеющими начало и конец, т.е. с функциями ограниченной длительности Т. Ограниченные во времени функции не могут иметь ограниченный спектр (т.е. спектральную плотность, равную нулю вне конечного интервала) — эти условия противоречивы. Однако можно построить рассуждение на более общей основе, определив ширину спектра F как интервал частот, вне которого спектральная плотность меньше некоторой заданной величины. Оказывается, что общий смысл теоремы Котельникова, состоящий в том, что функция определяется на интервале Т посредством

n = 2FT

«координат», при такого рода обобщении сохраняется [1].

 

 

предыдущая                           оглавление                      следующая