§ 10. Спектр суммы периодических функций
В § 4 уже говорилось о том,
что преобразование Фурье линейно, и к нему применим поэтому принцип наложения.
В случае периодических функций это можно записать так:
т.е. комплексная амплитуда k-й
гармоники спектра суммы функций равна сумме k-х гармоник спектров каждой
отдельно взятой функции. Это бесспорно, но нас интересуют обычно действительные
амплитуды. Для них можно записать
С геометрической точки зрения
эта величина представляет собой замыкающую ломаной, стороны которой равны cik и отложены под соответствующими углами φik. Положим, что даны два синусоидальных колебания с
комплексными амплитудами
Тогда
(10.1)
Эта формула может применяться
и в том случае, когда вместо постоянных фазовых углов φ мы подставляем как угодно зависящие от времени угловые
аргументы 
. Тогда и амплитуда оказывается функцией времени, и выражение
(10.1) получает смысл огибающей некоторого сложного колебания. Например, если
вместо φ1 и φ2 подставить ω1t и ω2t , то мы получим выражение для
огибающей биений, возникающих при сложении двух синусоидальных колебаний с
амплитудами c1 и c2 и частотами ω1
и ω2 .
Рассмотрим вопрос о
спектре функции, получаемой в результате сложения двух одинаковых, но сдвинутых
по времени периодических функций. Для некоторой периодической функции ƒ(t)
Для такой же функции, но
запаздывающей на время имеем или, заменяя t ─ τ на t1
Если теперь сложить функции
ƒ(t) и ƒ(t ─ τ), то комплексная амплитуда k-й гармоники их суммы будет равна
а действительная амплитуда равна [1]
(10.2)
Итак, для того чтобы получить
спектр суммы двух одинаковых функций, сдвинутых на время τ (например, сумму сигнала и его отражения),
достаточно умножить амплитуду каждой гармоники на 2
.
Рассмотрим пример.
Пусть дана периодическая последовательность коротких импульсов и пусть τ = T/2. Тогда множитель в
формуле (10.2) принимает вид
при k
нечетном,
при k четном.
Таким образом, все
нечетные гармоники выпадают. Так оно и должно быть: ведь если τ = T/2, то это значит, что
импульсы второй серии попадают в середину промежутков первой серии, т.е.
получается вдвое более частое следование импульсов, и, стало быть, основная
частота, а с нею и частоты всех гармоник увеличиваются вдвое.
Легко сообразить, что то же самое
получится при 
, т.е. когда τ равно
любому нечетному числу полупериодов. Если 
, то из спектра выпадают вторая, шестая, десятая и т.д.
гармоники.
Формула (10.2) дает
значение амплитуды k-й гармоники
спектра суммы функций ƒ(t) и ƒ(t ─ τ). Если
мы составим не сумму, а разность этих двух функций, то, действуя аналогично
предыдущему, найдем
(10.3)
Предположим теперь, что τ настолько малая величина, что
справедливо приближенное равенство
Таким образом, мы
выразили разность функций через производную. Найдем спектр 
:
Но так как функция
ƒ(t) периодическая, то
и, следовательно,
Это соотношение могло бы быть
получено из (10.3) путем замены синуса его аргументом.
Все приведенные выше
соотношения без труда распространяются и на случай почти-периодической функции;
в этом случае во все формулы входит Ωk вместо kΩ.
предыдущая оглавление следующая
